Цитата:
Ну как же она не может быть построена, если она строится...
Ну давайте немного повторим школьную программу.
Когда возникло понятие собственности на землю, ее стало необходимо измерять. Появилась геометрия. Землю измеряли прикладыванием всяких мерных эталонов, которые можно было прикладывать вдоль и поперек и поворачивать. Таким образом, базовыми инструментами стали линейка и циркуль.
Если есть линейка некоторой длины, то прикладывая ее несколько раз можно получить длины, кратные эталону. А если проводить с равными интервалами параллельные прямые под углом к еще одной прямой, то можно получить на ней деления более мелкие, чем исходный эталон. Таким образом, линейка позволяет выполнять умножение и деление на целое число. А раз мы умеем любую длину поделить на целое число, значит, у нас есть дроби.
Таким образом, древние греки обнаружили родство геометрии и арифметики.
Отмеряя с помощью циркуля равные расстояния вбок от прямой, можно проводить перпендикуляры. Имея перпендикуляры, можно строить прямоугольные треугольники. А потом Пифагор обнаружил интересную зависимость между длиной гипотенузы и длинами катетов. Зависимость оказалась очень странной: Пифагор доказал, что не существует такой даже очень мелкой линейки, которая укладывалась бы целое число раз и в гипотенузу и в катеты (за исключением некоторых "удобных" длин).
В самом деле, если катеты треугольника имеют длину 3 и 4см, то все в порядке: гипотенуза имеет длину 5см, и теорема Пифагора прекрасно выполняется: 3*3+4*4=25 и это равно 5*5=25. Но в самом простейшем случае 1*1+1*1=2 не существует такой дроби, чтобы ее квадрат давал двойку.
Значит, циркуль и линейка позволяют выполнять следующие математические операции: сложение/вычитаний, умножение и деление (с получением дробных результатов), извлечение квадратного корня (а в сочетании с умножением и делением это дает возможность извлечения корня любой степени).
А вот числа, которые знали греки, беднее: квадратный корень извлечь можно только из некоторых чисел.
Поэтому греки считали геометрию выше арифметики: то, что можно выразить геометрией, не всегда можно выразить числами.
Но и геометрия не всесильна. Одна из неразрешимых задач вошла в поговорку: квадратура круга. Она означает невозможность геометрическими средствами (т.е. при помощи циркуля и линейки) построить круг, площадь которого была бы равна площади квадрата с заданной длиной стороны.
Другой известный пример геометрически неразрешимой задачи: придумать способ деления произвольного угла на три равные части.
Делить угол на две и четыре части очень легко: см. учебник про биссектрису. А на три - в общем случае невозможно.
Теперь-то мы знаем почему это так. Потому что есть числа, которых греки не знали. Они называются трансцендентными: при их возведении в степень и умножении на дроби невозможно получить целый результат. Именно к таким числам относится число Пи, которое и требуется для решения этих двух задач.
Теперь, когда мы знаем ограниченность геометрии и преодолели ее с помощью алгебры, можно ли утверждать, что геометрические построения не нужны (под геометрическими построениями мы понимает такие, которые можно выполнить при помощи циркуля и линейки)?
Это не так, поскольку многие задачи геометрически решаются проще, чем алгебраически. Пример недавно приводил Мышак: построение перспективы при помощи точек схода. Попробуйте-ка рассчитать видимую "сплюснутость" окружности в перспективе. Можно, но получится много буков. А геометрически - пожалуйста: точка схода, четырехугольник и диагонали крестиком. Вообще практическая проективная геометрия - это простор для циркуля и линейки. Но не только. В любой области, связанной с механическими чертежами, геометрические построения встречаются чаще, чем численные расчеты.
Но! Вот тут Мышак кинул ссылочку на Меркаторскую проекцию, и... там уже одни формулы, которые не могут быть заменены манипуляциями с линейкой и циркулем.
Ну и конечно при разработке компьютерных алгоритмов решения геометрических задач циркуль и линейка не используются.
Такая вот занимательная история.
Вход
Регистрация
FAQ
Поиск
но я просто реально ф шоке. Он в другом месте проехать никак не мог да? Или в другом месте дороги настолько кривые, что его начинает трясти и пучить? Хотя нет, всё намного проще. У него просто игра такая новая-подвинь дом называется.
